Números importantes

Sobre la importancia de los numeros naturales.
Primero; existe una discución sin aparente fín, sobre si debemos considerar al cero como un numero natural o no, esa discución, por supuesto, está fuera del alcance de esta publicación, pero para nuestro caso particular consideraremos los naturales como (0,1,2,3,...) donde (...) significa: "y así sucesivamente hasta el infinito".

Ahora, vamos a ver cuales son los números importantes.

donde a,b, son numero reales.

empecemos con el cero, que tiene varias propiedades que lo hacen importante.
(a+0)=(0+a)=a, para todo "a". Neutro aditivo.
(0)(a)=0.
a^0=1 siempre que a>0 ó a<0.
para todo "a" existe un numero b=-a tal que: (a+b)=0. inverso aditivo.
y así.

continuemos con el uno.
trivialmente es un número importante, pero mencionaré algunas propiedades.
(1)(a)=a para todo a
(a/1)=a siempre que a>0 ó a<0.
a^1=a.
y así.

el dos.
primer número primo.
primer número par.

el tres.
primer número primo impar.

el cuatro.
primer cuadrado perfecto. (2)(2)=4
primer no-primo diferente de uno.

el cinco.
es un número de fibonacci.

el seis.
primer número producto de dos números primos distintos. (2)(3)=6

...
...
...

Por lo que pudieramos llegar a pensar si existe algún número que no sea importante, lo cual nos lleva al siguiente
Teorema: Todos los números naturales son importantes.

Demostración: usemos el método de reducción al absurdo, esto es: Supongamos que existe al menos un número no-importante y lleguemos a una contradicción.

Llamemos "A" al conjunto de todos los numeros no-importantes. Como "A" es un subconjunto de los números naturales, entonces "A" contiene puros números naturales (es trivial, pero vale la pena hacer esta mención).

Como los naturales (números) es un conjunto ordenado, cada subconjunto de los naturales, tiene un elemento menor a todos los demás, al que llamamos mínimo.

Ahora, hemos visto que hay varios números importantes, por lo que el mínimo de este conjunto no es ni el cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco ni seis.

Llamemos a este minimo "a". Por la definicíon que le dimos a "a", este pertenece a "A", es decir que "a" es menor de los número no-importantes, pero esa es a su vez una propiedad importante.

Y recordando las bases de las teorias de conjuntos, un elemento no puede pertencer a un conjunto y a su complemento a la vez.

Entonces se deduce que "a" no existe, es decir que "A" no tiene un elemento mínimo, esto sólo puede ser si "A" es vacio.

Que es lo que queriamos demostrar.


Creo.